關於平行四邊形教案彙總3篇 彙總豐富多彩的平行四邊形教案，輕鬆掌握它的魅力！

平行四邊形作為國中數學的重要知識點，教學中需要注重綜合能力的提高。因此，平行四邊形教案的設計十分關鍵。本文將為大家彙總一些優秀的平行四邊形教案，希望對廣大教師有所幫助。

第1篇

１、經歷探索多項式與多項式相乘的運演算法則的過程，發展有條理的思考及語言表達能力。

某地區在退耕還林期間，將一塊長m米、寬a米的長方形林區的長、寬分別增加n米和b米，用兩種方法表示這塊林區現在的面積。

這塊林區現在的長為 米，寬為 米。因而面積為________米2。

還可以把這塊林地分為四小塊，它們的面積分別為 米2， 米2，_______米2， 米2。故這塊地的面積為 。

如果把（m+n）看作一個整體，你還能用別的方法得到這個等式嗎？

1、某酒店的廚房進行改造，在廚房的中間設計一個準備臺，要求四面的過道寬都為x米，已知廚房的長寬分別為8米和5米，用代數式表示該廚房過道的總面積。

當今數學已經滲入到整個社會的各個領域，因此，應用數學去觀察、分析日常生活現象，去解決日常生活問題，成為各類數學競賽的一個熱點．

應用性問題能引導學生關心生活、關心社會，使學生充分到數學與自然和人類社會的密切聯絡，增強對數學的理解和應用數學的信心．

解答應用性問題，關鍵是要學會運用數學知識去觀察、分析、概括所給的實際問題，揭示其數學本質，將其轉化為數學模型．其求解程式如下：

在國中範圍內常見的數學模型有：數式模型、方程模型、不等式模型、函式模型、平面幾何模型、圖表模型等．

數與式是最基本的數學語言，由於它能夠有效、簡捷、準確地揭示數學的本質，富有通用性和啟發性，因而成為描述和表達數學問題的重要方法．

?例1】(20xx年安徽會考題)某風景區對5個旅遊景點的門票價格進行了調整，據統計，調價前後各景點的遊客人數基本不變。有關資料如下表所示：

（1）該風景區稱調整前後這5個景點門票的平均收費不變，平均日總收入持平。問風景區是怎樣計算的？

（2）另一方面，遊客認為調整收費後風景區的平均日總收入相對於調價前，實際上增加了約9.4%。問遊客是 怎樣計算的？

（3）你認為風景區和遊客哪一個的說法較能反映整體實際？

研究和解決生產實際和現實生恬中有關問題常常要用到方程

?例2】 (重慶會考題)某中學新建了一棟4層的教學大樓，每層樓有8間教室，進出這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側門大小也相同．安全檢查中，對4道門進行了測試：當同時開啟一道正門和兩道側門時，2min內可以通過560名學生；當同時開啟一道正門和一道側門時，4mln內可以通過800名學生．

(1)求平均每分鐘一道正門和一道側門各可以通過多少名學生?

(2)檢查中發現，緊急情況時因學生擁擠，出門的效率降低20％．安全檢查規定：在緊急情況下全大樓的學生應在5min內通過這4道門安全撤離．假設這棟教學大樓每間教室最多有45名學生，問：建造的這4道門整否符合安全規定?請說明理由．

思路點撥 列方程(組)的關鍵是找到題中等量關係：兩種測試中通過的學生數量．設未知數時一般問什麼設什麼．“符合安全規定”之義為最大通過量不小於學生總數．

(1)設平均每分鐘一道正門可以通過x名學生，一道側門可以通過y名學生，由題意得：

現實世界中的不等關係是普遍存在的，許多問題有時並不需要研究它們之間的相等關係，只需要確定某個量的變化範圍，即可對所研究的問題有比較清楚的認識．

?例3】 (蘇州會考題)我國東南沿海某地的風力資源豐富，一年內月平均的風速不小於3m／s的時間共約160天，其中日平均風速不小於6m／s的時間佔60天．為了充分利用“風能”這種“綠色資源”，該地擬建一個小型風力發電場，決定選用a、b兩種型號的風力發電機，根據產品說明，這兩種風力發電機在各種風速下的日發電量(即一天的發電量)如下表：一天的發電量)如下表：

(1)若這個發電場購x臺a型風力發電機，則預計這些a型風力發電機一年的發電總量至少為 千瓦?時；

(2)已知a型風力發電機每臺o.3萬元，b型風力發電機每臺o.2萬元．該發電場擬購置風力發電機共10臺，希望購機的費用不超過2.6萬元，而建成的風力發電場每年的發電總量不少於102000千瓦?時，請你提供符合條件的購機方案．

故可購a型發電機5臺，b型發電機5臺；或購a型發電機6臺，b型發電視4臺．

函式類應用問題主要有以下兩種型別：(1)從實際問題出發，引進數學符號，建立函式關係；(2)由提供的基本模型和初始條件去確定函式關係式．

?例4】 (揚州)楊嫂在再就業中心的扶持下，創辦了“潤楊”報刊零售點．對經營的某種晚報，楊嫂提供丁如下資訊：

②一個月內(以30天計)，有20天每天可以賣出200份，其餘10天每天只能賣出120份；

③一個月內，每天從報社買進的報紙份數必須相同．當天賣不掉的報紙，以每份0.10元退回給報社；

(2)設每天從報社買進該種晚報x份，120≤x≤200時，月利潤為y元，試求出y與x的函式關係式，並求月利潤的最大值．

故y=x+240，(120≤x≤200)， 當x=200時，月利潤y的最大值為440元．

注 根據題意，正確列出函式關係式，是解決問題的關鍵，這裡特別要注意自變數x的取值範圍．

?例5】 (桂林市)某公司需在一月(31天)內完成新建辦公樓的裝修工程．如果由甲、乙兩個工程隊合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊單獨做，甲隊比乙隊少用10天完成．

（1）求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程所需的天數．

(2)如果請甲工程隊施工，公司每日需付費用200 0元；如果請乙工程隊施工，公司每日需付費用1400元．在規定時間內：a．請甲隊單獨完成此項工程；b．請乙隊單獨完成此項工 程； c．請甲、乙兩隊合作完成此項工程．以上方案哪一種花錢最少?

思路點撥 這是一道策略優選問題．工程問題中：工作量=工作效率×工時．

(1)設乙工程隊單獨完成此項工程需x天，根據題意得：

所以，甲工程隊單獨完成此項工程需用20天，乙隊需30天．

?例6】 (2全國聯賽初賽題)一支科學考察隊前往某條河流的上游去考察一個生態區，他們以每天17km的速度出發，沿河岸向上遊行進若干天后到達目的地，然後在生態區考察了若干天，完成任務後以每天25km的速度返回，在出發後的第60天，考察隊行進了24km後回到出發點，試問：科學考察隊的生態區考察了多少天?

設考察隊到 生態區去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，則x+y+z=60，

這裡x、y是正整數，現設 法求出①的一組合題意的解，然後計算出z的值．

為此，先求出①的一組特殊解(x0，y0)，(這裡x0，y0可以是負整數)．用輾轉相除法．

25=l ×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3 ×17-2×25．

由不定方程的知識可知，①的一切整數解可表示為x=－3+25t，y=－2+17t，

注 本題涉及到的未知量多，最終轉化為二元一次不定方程來解，希讀者仔細咀嚼所用方法．

?例7】 (江蘇省第17屆國中競賽題)華鑫超市對顧客實行優惠購物，規定如下：

(2)若一次購物滿200元，但不超過500元，按標價給予九折優惠；

(3)若一次購物超過500元，其中500元部分給予九折優惠，超過500元部分給予八折 優惠．

小明兩次去該超市購物，分別付款198元與554元．現在小亮決定一次去購 買小明分兩次購買的同樣多的物品，他需付款多少?

第一次付款198元，可是所購物品的實價，未 享受優惠；也可能是按九折優惠後所付的款．故應分兩種情況加以討論．

情形1 當198元為購物不打折付的錢時，所購物品的原價為198元 ．

又554=450+104，其中450元為購物500元打九折付的錢，104元為購物打八折付的錢；104÷0. 8 =130(元)．

因此，554元所購物品的原價為130+500=630(元)，於是購買小呀花198 +630=828(元)所購的全部物品，小亮一次性購買應付500×0.9+(828－500)×0.8=712.4（元）．

情形2 當198元為購物打九折付的錢時，所購物品的原價為198 ÷0.9=220(元) ．仿情形1的討論，，購220+630=850{元}物品一次性付款應為500×0.9+(850－500)×0.8=730(元)．

綜上所述，小亮一次去超市購買小明已購的同樣多的物品，應付款712.40元或730元

?例8】 (20xx年全國數學競賽題)某項工程，如果由甲、乙兩隊承包，2 天完成，需180000元；由乙、丙兩隊承包，3 天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊承包，2 天完成，需付160000元．現在工程由一個隊單獨承包，在保證一週完成的前提下，哪個隊承包費用最少?

思路點撥 關鍵問題是甲、乙、丙單獨做各需的天數及獨做時各方日付工資．分兩個層次考慮：

而丙隊不能在一週內完成．所以由乙隊承包費用最少．

1．(河南)在防治“sars”的戰役中，為防止疫情擴散，某製藥廠接到了生產240箱過氧乙酸消毒液的任務．在生產了60箱後，需要加快生產，每天比原來多生產15箱，結果6天就完成了任務．求加快速度後每天生產多少箱消毒液?

2．(山東省競賽題)某市為鼓勵節約用水，對自來水妁收費標準作如下規定：每月每戶用水中不超過10t部分按0.45元／噸收費；超過10t而不超過20t部分按每噸0.8元收費；超過20t部分按每噸1.50元收費，某月甲戶比乙戶多繳水費7.10元，乙戶比丙戶多繳水費3.75元，問甲、乙、丙該月各繳水費多少?(自來水按整噸收費)

3．(江蘇省競賽題)甲、乙、丙三人共解出100道數學題，每人都解出了其中的60道題，將其中只有1人解出的題叫做難題，3人都解出的題叫做容易題．試問：難題多還是容易題多?多的比少的多幾道題?

4．某人從a地到b地乘坐計程車有兩種方案，一種計程車收費標準是起步價10元，每千米1.2元；另一種計程車收費標準是起步價8元，每千米1.4元，問選擇哪一種計程車比較合適?

(提示：根據目前計程車管理條例，車型不同，起步價可以不同，但起步價的最大行駛里程是相同的，且此里程內只收起步價而不管其行駛里程是多少)

1．(全國國中數學競賽題)江堤邊一窪地發生了管湧，江水不斷地湧出，假定每分鐘湧出的水量相等，如果用兩臺抽水機抽水，40min可抽完；如果用4臺抽水機抽，16min可抽完．如果要在10min抽完水，那麼至少需要抽水機 臺．

2．(希望杯)有一批影碟機(vcd)原售價：800元／臺．甲商場用如下辦法促銷：

乙商場用如下辦法促銷：每次購買1~8臺，每臺打九折；每次購買9~16臺，每臺打八五折； 每次購買17~24臺，每臺打八折；每次購買24臺以上，每臺打七五折．

（1）請仿照甲商場的促銷列表，列出到乙商場購買vcd的購買臺數與每臺價格的對照表；

(2)現在有a、b、c三個單位，且單位要買10臺vcd，b單位要買16臺vcd，c單位要買20臺vcd，問他們到哪家商場購買花費較少?

3．(河北創新與知識應用競賽題)某錢幣收藏愛好者想把3.50元紙幣兌換成1分、2分、5分的硬幣，他要求硬幣總數為150枚，且每種硬幣不少於20枚，5分的硬幣要多於2分的硬幣．請你據此設計兌換方案．

4．從自動扶梯上走到二樓(扶梯本身也在行駛)，如果男孩和女孩都做勻速運動且男孩每分鐘走動的級數是女孩的兩倍，已知男孩走了27級到達扶梯頂部，而女孩走了18級到達扶梯頂部(設男孩、女孩每次只踏—級)．問：

(2)如果扶梯附近有一從二樓到一樓的樓梯，樓梯的級數和扶梯的級數相等，兩孩子各自到扶梯頂部後按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘扶梯(不考慮扶梯與樓梯間距離)則男孩第一次追上女孩時走了多少級臺階?

5．某化肥廠庫存三種不同的混合肥，第一種 含磷60％，鉀40％，第二種含鉀10％，氮90％；第三種含鉀50％，磷20％，氮30％，現將三種肥混合成含氮45％的混合肥100?(每種肥都必須取)，試問在這三種不同混合肥的不同取量中，新混合肥含鉀的取值範圍．

6．(黃岡競賽題)有麥田5塊a、b、c、d、e，它們的產量，(單位：噸)、交通狀況和每相鄰兩塊麥田的距離如圖21-2所示，要建一座永久性打麥場，這5塊麥田生產的麥子都在此打場．問建在哪快麥田上(不允許建在除麥田以外的其他地方)才能使總運輸量最小?圖中圓圈內的數字為產量，直線段上的字母a、b、d表示距離，且b

邊、角、對角線是多邊形中最基本的概念，求多邊形的邊數 、內外角度數、對角線條數是解與多邊形相關的基本問題，常用到三角形內角和、多邊形內、外角和定理、不等式、方程等知識．

多邊形 的內角和定理反映出一定的規律性：(n－2)×180°隨n的變化而變化；而多邊形的外角和定理反映出更本質的規律；360°是一個常數，把內角問題轉化為外角問題，以靜制動是解多邊形有關問題的常用技巧．

將多邊形問題轉化為三角形問題來處理是解多邊形問題的基本策略，連對角線或向外補形、對內分割是轉化的常用方法，從凸 邊形的一個頂點引出的對角線把 凸 邊形分成 個多角形，凸n邊形一共可引出 對角線．

?例1】在一個多邊形中，除了兩個內角外，其餘內角之和為20xx°，則這個多邊形的邊數是 ．

思路點撥 設除去的角為°，y°，多邊形的邊數 為 ，可建立關於x、y的不定方程；又0°

連結 世界上的萬事萬物是一個不斷地聚合和分裂的過程，點是幾何學最原始的概念，點生線、線生面、面生體，幾何元素的聚合不斷產生新的圖形，另一方面，不斷地分割已有的圖形可得到新的幾何圖形，發現新的幾何性質，多邊形可分成三角形，三角形可以合成其他

?例2】 在凸10邊形的所有內角中，銳角的個數最多是( )

思路點撥 多邊形的內角和是隨著多邊形的邊數變化而變化的，而外角和卻總是不變的.，因此，可把內角為銳角的個數討論轉化為 外角為鈍角的個數的探討．

?例3】 如圖，已知在△abc中，ab＝ac，ad⊥bc於d，且ad=bc=4，若將此三角形沿ad剪開成為兩個三角形，在平面上把這兩個三角形拼成一個四邊形，你能拼出所有的不同形狀的四邊形嗎?畫出所拼四邊形的示意圖(標出圖中直角)，並分別寫出所拼四邊形的對角線的長．

思路點撥 把動手操作與合情想象相結合 ，解題的關鍵是能注意到重合的邊作為四邊形對角線有不同情形．

注 教學建模是當今教學教育、考試改革最熱門的一個話題，簡單地說，“數學建模”就是通過數學化(引元、畫圖等)把實際問題特化為一個數學問題，再運用相應的數學知識方法(模型)解決問題．

本例通過設元，把“沒有重疊、沒有空隙”轉譯成等式，通過不定方程求解．

?例4】 在日常生活中，觀察各種建築物的地板，就能發現地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊(在幾何裡叫做平面鑲嵌)，這顯然與正多邊形的內角大小有關，當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角(360°)時，就拼成了一個平面圖形．

(2)如果限於用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖形?

(3)從正三角形、正四邊形，正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個平面圖形(草圖)；並探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面 圖形?說明你的理由．

思路點撥 本例主要研究兩個問題：①如果限用一種正多邊形鑲嵌，可選哪些正多邊形；②選用兩種正多邊形鑲嵌，既具有開放性，又具有探索性．假定正n邊形滿足鋪砌要求，那麼在它的頂點接合的地方，n個內角的和為360°，這樣，將問題的討論轉化為求不定方程的正整數解．

?例5】 如圖，五邊形abcde的每條邊所在直線沿該邊垂直方向向外平移4個單位，得到新的五邊形a'b'c'd'e'．

（1）圖中5塊陰影部分即四邊形aha'g、bfb'p、coc'n、dmd'l、eke'i能拼成一個五邊形嗎?說明理由．

(2)證明五邊形a'b'c'd'e'的周長比五邊形abcd正的周長至少增加25個單位．

思路點撥 (1)5塊陰影部分要能拼成一個五邊形須滿足條件：，a'gb'； b'pc'； c'nd'；d'le'；e'ia'三點分別共線；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°；(2)增加的周長等於a'h+a'g+b'f+b'p+c'o+c'n+d'm+d'l+e'k+e'i，用圓的周長逼近估算．

1．如圖，用硬紙片剪一個長為16cm、寬為12cm的長方形，再沿對角線把它分成兩個三角形，用這兩個三角形可拼出各種三角形和四邊形來，其中周長最大的是 ?，周長最小的是 cm．

3．如圖，abcd是凸四邊形，ab=2，bc=4，cd=7，則線段ad的取值範圍是 ．

4．用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規律，拼成若干個圖案：

5．凸n邊形中有且僅有兩個內角為鈍角，則n的最大值是( )

6．一個凸多邊 形的每一內角都等於140°，那麼，從這個多邊形的一個頂點出發的對角線的條數是( )

7．有一個邊長為4m的正六邊形客廳，用邊長為50cm的正三角形瓷磚鋪滿，則需要這種瓷磚( )

8．已知△abc是邊長為2的等邊三角形，△acd是一個含有30°角的直角三角形，現將△abc和△acd拼成一個凸四邊形abcd．

9．如圖，四邊形abcd中，ab＝bc＝cd，∠abc=90°，∠bcd＝150°，求∠bad的度數．

10．如圖，在五邊形a1a2a3a4a5中，bl是a1的對邊a3a4的中點，連結a1b1，我們稱a1b1是這個五邊形的一條中對線，如果五邊形的每條中對線都將五邊形的面積分成相等的兩部分，求證：五邊形的每條邊都有一條對角線和它平行．

11．如圖，凸四邊形有 個；∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠g= ．

12．如圖，延長凸五邊形a1a2a3a4a5的各邊相交得到5個角，∠b1，∠b2，∠b3，∠b4，∠b5，它們的和等於 ；若延長凸n邊形(n≥5)的各邊相交，則得到的n個角的和等於 ．

13．設有一個邊長為1的正三角形，記作a1(圖a)，將每條邊三等分，在中間的線段上向外作正三角形，去掉中間的線段後所得到的圖形記作a 2(圖b)，再將每條邊三等分，並重覆上述過程，所得到的圖形記作a3(圖c)；再將每條邊三 等分，並重覆上述過程，所得到的圖形記作a4，那麼，a4的周長是 ；a4這個多邊形的面積是原三角形面積的 倍．

14．如圖，六邊形abcdef中，∠a=∠b=∠c=∠d=∠e=∠f，且ab+bc=11，fa—cd=3，則bc+dc= ． (北京市競賽題)

15．在一個n邊形中，除了一個內角外，其餘(n一1)個內角的和為2750°，則這個內角的度數為( )

16．如圖，四邊形abcd中，∠bad=90°，ab=bc=2 ，ac=6，ad=3，則cd的長為( )

注 按題中的方法'不斷地做下去，就會成為下圖那樣的圖形，它的邊界有一個美麗的名稱——雪花曲線或 科克曲線(瑞典數學家)，這類圖形稱為“分形”，大量的物理、生物與數學現象都導致分形，分形是新興學科“混沌”的重要分支．

18．平面上有a、b，c、d四點，其中任何三點都不在一直線上，求證：在△abc、△abd、△acd、△bdc中至少有一個三角形的內角不超過45°．

19．一塊地能被n塊相同的正方形地磚所覆蓋，如果用較小的相同正方形地磚，那麼需n+76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地，已知n及地磚的邊長都是整數，求n． (上海市競賽題)

20．如圖，凸八邊形abcdefgh的8 個內角都相等，邊ab、bc、cd、de、ef、fg的長分別為7，4，2，5，6，2，求該八邊形的周長．

21．如圖l是一張可摺疊的鋼絲床的示意圖，這是展開後支撐起來放在地面上的情況，如果摺疊起來，床頭部分被折到了床面之下(這裡的a、b、c、d各點都是活動的)，活動床頭是根據三角形的穩定性和四邊形的不穩定性設計而成的，其摺疊過程可由圖2的變換反映出來．

如果已知四邊形abcd中，ab=6，cd=15，那麼bc、ad取多長時，才能實現上述的摺疊變化?

22．一個凸n邊形由若干個邊長為1的正方形或正三角形無重疊、無間隙地拼成，求此凸n邊形各個內角的大小，並畫出這樣的 凸n邊形的草圖．

前蘇聯數學家亞格龍將幾何學定義為：幾何學是研究幾何圖形在運動中不變的那些性質的學科．

幾何變換是指把一個幾何圖形fl變換成另一個幾何圖形f2的方法，若僅改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，這種變換稱為合同變換，平移、旋轉是常見的合同變換．

如圖1，若把平面圖形fl上的各點按一定方向移動一定距離得到圖形f2後，則由的變換叫平移變換．

平移前後的圖形全等，對應線段平行且相等，對應角相等．

如圖2，若把平面圖fl繞一定點旋轉一個角度得到圖形f2，則由fl到f2的變換叫旋轉變換，其中定點叫旋轉中心，定角叫旋轉角．

旋轉前後的圖形全等，對應線段相等，對應角相等，對應點到旋轉中心的距離相等．

通過平移或旋轉，把部分圖形搬到新的位置，使問題的條件相對集中，從而使條件與待求結論之間的關係明朗化，促使問題的解決．

注 合同變換、等積變換、相似變換是基本的幾何變換．等積變換，只是圖形在保持面積不變情況下的形變'而相似變換，只保留線段間的比例關係，而線段本身的大小要改變．

?例1】如圖，p為正方形abcd內一點，pa：pb：pc＝1：2：3，則∠apd= ．

思路點撥 通過旋轉，把pa、pb、pc或關聯的線段集中到同一個三角形．

?例2】 如圖，在等腰rt△abc的斜邊ab上取兩點m，n，使∠mcn=45°，記am＝m，mn= x，dn=n，則以線 段x、m、n為邊長的三角形的形狀是( )

思路點撥 把△acn繞c點順時針旋轉45°，得△cbd，這樣∠acm+∠bcn=45°就集中成一個與∠mcn相等的角，在一條直線上的m、 x、n 集中為△dnb，只需判定△dnb的形狀即可．

(1)圖形中出現等邊三角形或正方形，把旋轉角分別定為60°、90°；

(2)圖形中有線段的中點，將圖形繞中點旋轉180°，構造中心對稱全等三角形；

(3)圖形中出現有公共端點的線段，將含有相等線段的圖形繞公共端點，旋轉兩相等線段的夾角後與另一相等線段重合．

?例3】 如圖，六邊形adcdef中，an∥de，bc∥ef，cd∥af，對邊之差bc－ef＝ed?ab＝af?cd>0，求證：該六邊形的各角相等．

思路點撥 設法將複雜的條件bc?ff=ed?ab=af?cd>0用一個基本圖形表示，題設中有平行條件，可考慮實施平移變換．

注 平移變換常與平行線相關，往往要用到平行四邊形的性質，平移變換可將角，線段移到適當的位置，使分散的條件相對集中，促使問題的解決．

?例4】 如圖，在等腰△abc的兩腰ab、ac上分別取點e和f，使ae=cf．已知bc=2，求證：ef≥1． (西安市競賽題)

思路點撥 本例實際上就是證明2ef≥bc，不便直接證明，通過平移把bc與ef集中到同一個三角形中．

(2)三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊；

(3)同一個三角形中大邊對大角(大角對大邊)，三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角．

?例5】 如圖，等邊△abc的邊長為 ，點p是△abc內的一點，且pa2+pb2＝pc2，若pc=5，求pa、pb的長． (“希望杯”邀請賽試題)

思路點撥 題設條件滿足勾股關係pa2+pb2＝pc2的三邊pa、pb、pc不構成三角形，不能直接應用，通過旋轉變換使其集中到一個三角形中，這是解本例的關 鍵．

1．如圖，p是正方形abcd內一點，現將△abp繞點b顧時針方向旋轉能與△cbp′重合，若pb=3，則pp′= ．

2．如圖，p是等邊△abc內一點，pa＝6，pb=8，pc＝10，則∠apb ．

3．如圖，四邊形abc d中，ab∥cd，∠d=2∠b，若ad=a，ab=b，則cd的長為 ．

4．如圖，把△abc沿ab邊平移到△a'b'c'的位置，它們的重疊部分(即圖中陰影部分)的面積是△abc的面積的一半，若ab= ，則此三角形移動的距離aa'是( )

5．如圖，已知△abc中，ab=ac，∠bac=90°，直角epf的頂點p是bc中點，兩邊pe、pf分別交ab、ac於點c、f，給出以下四個結論：①ae=cf；②△epf是等腰直角三角形；③s四邊形aepf= s△abc；④ef=ap．

當∠epf在△abc內繞頂點p旋轉時(點e不與a、b重合)，上述結論中始終正確的有( )

6．如圖，在四邊形 abcd中，ab＝bc，∠abc=∠cda=90°，be⊥ad於e， s四邊形abcd d=8，則be的長為( )

7．如圖，正方形abcd和正方形efgh的邊長分別為 和 ，對角線bd、fh都在直線 上，o1、o2分別為正方形的中心，線段o1o2的長叫做兩個正方形的中心距，當中心o2在直線 上平移時，正方形efgh也隨之平移，在平移時正方形efgh的形狀、大小沒有變化．

(2)當中心o2在直線 上平移到兩個正方形只有一個公共點時，中心距o1o2= ；

(3)隨著中心o2在直線 上平移，兩個正方形的公共點的個數還有哪些變化?並求出相對應的中心距的值或取值範圍(不必寫出計算過程)． (徐州市會考題)

8．圖形的操做過程（本題中四個矩形的水平方向的邊長均為a，豎直 方向的邊長均為b）：

在圖a中，將線段a1a2向右平移1個單位到b1b2,得到封閉圖形a1a2b1b2（即陰影部分）；

在圖b中， 將折線a1a2a3向右平移1個單位到b1b2b3，得到封閉圖形a1a2a3b1b2b3（即陰影部分）；

（1）在圖c中,請你類似地畫一條有兩個折點的折線,同樣向右平移1個單位,從而得到一個封閉圖形,並用斜線畫出陰影；

（2）請你分別寫出上述三個圖形中除去陰影部分後剩餘部分的面積：s1= ，,s2= ，s3= ；

如圖d，在一塊矩形草地上,有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是1個單位），請你猜想空白部分表示的草地面積是多少？並說明你的猜想是正確的．

9．如圖，已知點c為線段ab上一點，△acm、△cbn是等邊三角形，求證：an＝bm．

說明及要求：本題是《幾何》第二冊幾15中第13題，現要求：

(1)將△acm繞c點按逆時針方向旋轉180°，使a點落在cb上，請對照原題圖在圖中畫出符合要求的圖形(不寫作法，保留作圖痕跡)．

(2)在①所得的圖形中，結論“an＝bm”是否還成立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

(3)在①得到的圖形中，設ma的延長線與bn相交於d點，請你判斷△abd與四邊形mdnc的形狀，並證明你的結論．

10．如圖，在rt△abc中，∠a＝90°，ab＝3cm，ac=4cm，以斜邊bc上距離b點3cm的點p為中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉90°至△def，則旋轉前後兩個直角三角形重疊部分的面積是 cm2．

11．如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，∠d=90°，bc=cd=12，∠abe=45°，點e在dc上，ae、bc的延長線交於點f，若ae=10，則s△ade+s△cef的值是 ．

12．如圖，在△abc中，∠bac=120°，p是△abc內一點，則pa+pb+pc與ab+ac的大小關係是( )

13．如圖，設p到等邊三角形abc兩頂點a、b的距離分別為2、3，則pc所能達到的最大值為( )

14．如圖，已知△abc中，ab=ac，d為ab上一點，e為ac 延長線上一點，bd=ce，連de，求證：de>dc．

15．如圖，p為等邊△abc內一點，pa、pb、pc的長為正整數，且pa2+pb2=pc2，設pa=m，n為大於5的實數，滿 ，求△abc的面積．

16．如圖，五羊大學建立分校，校本部與分校隔著兩條平行的小河， ∥ 表示小河甲， ∥ 表示小河乙，a為校本部大門，b為分校大門，為方便人員來往，要在兩條小河上各建一座橋，橋面垂直於河岸．圖中的尺寸是：甲河寬8米，乙河寬10米，a到甲河垂直距離為40米，b到乙河垂直距離為20米，兩河距離100米，a、b兩點水平距離(與小河平行方向)120米，為使a、b兩點間來往路程最短，兩座橋都按這個目標而建，那麼，此時a、d兩點間來往的路程是多少米? (“五羊杯”競賽題)

17．如圖，△abc是等腰直角三角形，∠c=90°，o是△abc內一點，點o到△abc各邊的距離都等於1，將△abc繞 點o順時針旋轉45°，得△a1blc1 ，兩三角形公共部分為多邊形klmnpq．

18．(1)操作與證明：如圖1，o是邊長為a的正方形acbd的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在o點處，並將紙板繞o點旋轉，求證：正方形abcd的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值．

(2)嘗試與思考：如圖2，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正三角形或正五邊形的中心o點處，並將紙板繞o點旋轉， 當扇形紙板的圓心角為 時，正三角形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a；當扇形紙板的圓心角為 時，正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度也為定值a．

(3)探究與引申：一般地，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正n邊形的中心o點處，並將紙板繞o點旋轉．當扇形紙板的圓心角為 時，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分 的總長度為定值a；這時正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是否也為定值?若為定值，寫出它與正n邊形面積s之間的關係；若不是定值，請說明理由．

第2篇

1．能運用勾股定理解決生活中與直角三角形有關的問題；

2．能從實際問題中建立數學模型，將實際問題轉化為數學問題，同時滲透方程、轉化等數學思想。

3．進一步發展有條理思考和有條理表達的能力，體會數學的應用價值

1.如圖，單槓ac的高度為5m，若鋼索的底端b與單槓底端c的距離為12m，求鋼索ab的長.

欣賞生活中含有直角三角形的圖片，如果知道斜拉橋上的索塔ab的高，如何計算各條拉索的長？

活動一 如圖，起重機吊運物體，已知bc=6m,ac=10m,求ab的長.

活動二 在我國古代數學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面.請問這個水池的深度和這根蘆葦的長度各為多少？

活動三 一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖所示的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門？

1.《中華人民共和國道路交通安全法》規定：小汽車在城市道路上行駛速度不得超過70km/h，如圖一輛小汽車在一條城市中的直道上行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀的正前方30m處，過了2s後，測得小汽車與車速檢測儀間的距離為50m，這輛小汽車超速了嗎？

2.一種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測得內部地面半徑為2.5cm，高為12cm，吸管斜置於杯中，並在杯口外面至少露出4.6cm，問吸管需要多長？

1．(1)在rt△abc中，∠c=90°,若bc=4,ac=2,則ab=______;若ab=4,bc=2,則ac=_____;

(2)一個直角三角形的模具，量得其中兩邊的`長分別為5cm，3cm，則第三邊的長是______;

(3)甲乙兩人同時從同一地出發，甲往東走4km，乙往南走6km，這時甲乙兩人相距____km.

2．如圖，圓柱高為8cm，地面半徑為2cm ,一隻螞蟻從點a爬到點b處吃食，要爬行的最短路程（ 取3）是 ( )

3.如圖，筆直的公路上a、b兩點相距25km，c、d為兩村莊，da⊥ab於點a，cb⊥ab於點b，已知da=15km，cb=10km，現在要在公路的ab段上建一個土特產品收購站e，使得c、d兩村到收購站e的距離相等，則收購站e應建在離a點多遠處？

線段的中點是幾何圖形中一個特殊的點，它關聯著三角形中線、直角三角形斜邊中線、中心對稱圖形、三角形中位線、梯形中位線等豐富的知識，恰當地利用中點，處理中點是解與中點有關問題的關鍵，由中點想到什麼?常見的聯想路徑是：

?例1】 如圖，在△abc中，∠b=2∠c，ad⊥bc於d，m為bc的中點， ab=10cm，則md的長為 ．

思路點撥 取ab中點n，為直角三角形斜邊中線定理、三角形中位線定理的運用創造條件．

注 證明線段倍分關係是幾何問題中一種常見題型，利用中點是一個有效途徑，基本方法有：

?例2】 如圖，在四邊形abcd中，一組對邊ab=cd，另一組對邊ad≠bc，分別取ad、bc的中點m、n，連結mn．則ab與mn的關係是( )

思路點撥 中點m、n不能直接運用，需增設中點，常見的方法是作對角線的中點．

?例3】如圖，在△abc中，ab=ac，延長ab到d，使bd＝ab，e為ab中點，連結ce、cd，求證：c d=2ec．

思路點撥 聯想到與中位線相關的豐富知識，將線段倍分關係的證明轉化為線段相等關係的證明，解題的關鍵是恰當添輔助線．

?例4】 已知：如圖l，bd、ce分別是△abc的外角平分線，過點a作af⊥bd，ag ⊥ ce，垂足分別為f、g，連結fg，延長af、ag，與直線bc相交，易證fg= (ab+bc+ac)．

(2)bd為△abc的內角平分線，ce為△abc的外角平分線(如圖3)，則在圖2、圖3兩種情況下，線段fg與△abc三邊又有怎樣的數量關係?請寫出你的猜想，並對其中的一種情況給予證明．

思路點撥 圖1中fg與△abc三邊的數量關係的求法(關鍵是作輔助線)，對尋求後兩個圖形中線段fg與△abc三邊的數量關係起著重要作用，而由平分線、垂線發現中點，這是解題的基礎．

注 三角形與梯形的中位線．在位置上涉及到平行，在數量上是上下底和的一半，它起著傳遞角的位置關係和線段長度的功能，在證明線段倍分關係、兩直線位置關係、線段長度的計算等方面有著廣泛的應用．

?例5】 如圖，任意五邊形abcde，m、n、p、q分別為ab、cd、bc、de的中點，k、l分別為mn、pq的中點，求證：kl∥ae且kl= ae．

思路點撥 通過連線，將多邊形分割成三角形、四邊形，為多箇中點的 利用創造條件，這是解本例的突破口．

注 需要什麼，構造什麼，構造基本圖形、構造線段的和差(倍分)關係、構造角的關係等，這是作輔助線的有效思考方法之一．

1．bd、ce是△abc的中線，g、h分別是be、cd的中點，bc=8，則gh= ．

2．如圖,△abc中、bc＝a，若d1、e1；分別是ab、ac的中點，則 ；若 d2、e2分別是d1b、e1c的中點，則 ：若 d3、e3分別是d2b、e2c的中點.則 ……若dn、en分別是dn-1b、en-1c的中點，則dnen= (n≥1且 n為整數).

3．如圖，△abc邊長分別為ad=14，bc=l6，ac=26，p為∠a的平分線ad上一點，且bp⊥ad，m為bc的中點，則pm的值是 ．

4．如圖， 梯形abcd中，ad∥bc，對角線ac⊥bd，ac=5cm，bd=12cm，則該梯形的中位線的長等於 cm．

5．如圖，在梯形abcd中，ad∥ef∥gh∥bc，ae=eg=gb=ad=18，bc=32，則ef+gh=( )

6．如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，e、f分別是對角線bd、ac的中點，若ad=6cm，bc=18?，則ef的長為( )

7．如圖，矩形紙片abcd沿df摺疊後，點c落在ab上的e點，de、df三等分∠adc，ab的長為6，則梯形abcd的中位線長為( )

8．已知四邊形abcd和對角線ac、bd，順次連結各邊中點得四邊形mnpq，給出以下6個命題：

9．如圖，已知△abc中，ad是 高，ce是中線，dc=be，dg⊥ce，g為垂足．求證：(1)g 是ce的 中點；(2)∠b=2∠bce．

10．如圖，已知在正方形abcd中，e為dc上一點，連結be，作cf⊥be於p，交ad於f點，若恰好使得ap=ab，求證：e是dc的中點．

11．如圖，在梯形abcd中，ab∥cd，以ac、ad為邊作平行四邊形aced，dc的延長線交be於f．

(2)s△bce能否為s梯形abcd的 ?若不能，說明理由；若能，求出ab與cd的關係．

12．如圖，已知ag⊥bd，af⊥ce，bd、cf分別是∠abc和∠acb的角平分線，若bf=2，ed=3，gc=4，則△abc的周長為 ．

13．四邊形adcd的對角線ac、bd相交於點f，m、n分別為ab、cd中點，mn分別交bd、ac於p、q，且∠fpq＝∠fqp，若bd=10，則ac= ．

1 4．四邊形abcd中，ad>bc，c、f分別是ab、cd的中點，ad、bc的延長線分別與ef的延長線交於h、g，則∠ahe ∠bge(填“>”或“=”或“

15．如圖，在△abc中，dc=4，bc邊上的中線ad=2，ab+ac=3+ ，則s△abc等於( )

16．如圖，正方形abcd中，ab＝8，q是cd的中點，設∠daq=α，在cd上取一點p，使∠bap＝2α，則cp的長是( )

17．如圖，已知a為de的中點，設△dbc、△abc、△ebc的面積分別為s1，s2，s3，則s1、s2、s3之間的關係式是( )

18．如圖，已知在△abc中，d為ab的中點，分別延長ca、cb到e、f，使de=df，過e、f分別作ca、 cb的垂線，相交於點p．求證：∠pae=∠pbf．

19．如圖，梯形abcd中，ad∥bc，ac⊥bd於o，試判斷ab+cd與ad+bc的大小，並證明你的結論．

20．已知：△abd和△ace都是直角三角形，且∠abd=∠ace=90°．如圖甲，連結de，設m為d正的中點．

(2)設∠bad=∠cae，固定△abd， 讓rt△ace繞頂點a在平面內旋轉到圖乙的位置，試問：mb；mc是否還能成立?並證明其結論．

21．如圖甲，平行四邊形abcd外有一條直線mn，過a、b、c、d4個頂點分別作mn的垂線aa1、bb1、ccl、ddl，垂足分別為al、b1、cl、d1．

(2)如圖乙，直線mn向上移動，使點a與點b、c、d位於直線mn兩側，這時過a、b、c、d向直線mn引垂線，垂足分別為al、b1、cl、d1，那麼aa1、bb1、ccl、ddl 之間存在什麼關係?

第3篇

義務教育課程標準實驗教科書蘇教版一年級下冊19～21頁。

1．緊密聯絡學生已有經驗，通過豐富的學習活動，幫助學生直觀認識常見的平面圖形。教材通過折正方形紙，讓學生直觀認識三角形，把兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形，直觀地認識平行四邊形。這樣安排，既符合低年級學生的認知特點，也有利於他們主動地認識平面圖形。

2．把圖形的變換，圖形間的聯絡放在重要位置。教材只要求學生直觀認識三角形、平行四邊形，沒有深入研究它們的特徵。但是教材安排了許多折、剪、拼的活動，比較多地將一種圖形變換成另一種圖形。這些操作活動，能使學生感受圖形之間的聯絡，有利於培養學生空間觀念和解決問題的能力，有利於發展學生的數學思維。

3．教材設計了一些開放性問題，如在釘子板上圍三角形、平行四邊形，圍成的這些圖形可以有大有小，有不同的位置，用一個長方形剪成兩個完全一樣的三角形拼一拼，可以拼成多種圖形。這些題能激起學生獨立探索的精神，相互合作的願望，有利於改善教學方式，培養學生的創新意識。

1．通過把長方形成或正方形折、剪、拼等活動，直觀認識三角形和平行四邊形，知道三角形和平行四邊形的名稱，並能識別三角形、平行四邊形，初步瞭解三角形、平行四邊形在日常生活中的應用。

2．在折圖形、剪圖形、擺圖形、拼圖形等活動中，使學生體會圖形的變換，發展對圖形的空間想像能力。

3．使學生在學習活動中積累對數學的興趣，增強與同學的交往、合作的意識。

教學重點與難點：從三角形、平行四邊形實物中抽象出平面圖形，並讓學生正確認識它們。

教具準備：長方形、正方形紙各一張，不同形狀的三角形、平行四邊形若干個，剪刀一把，釘子板和20頁上半頁的圖片。

學具準備：長方形紙、正分形紙、直角三角形紙若干張、剪刀、學具盒。

小朋友，你們喜歡摺紙嗎?你們想折嗎？今天老師就和你們一起玩摺紙遊戲好嗎?

(1)教師手中拿的是什麼圖形的紙?(正方形紙)請小朋友們拿出和老師手中一樣的正方形紙，你能把這張正方形的紙對摺成完全一樣的兩部分嗎?(教師巡視，如有學生對對摺不理解要及時指導。)

①對摺成兩個完全一樣的長方形。（這是我們已經認識的)

②對摺兩個完全一樣的三角形。(貼出圖形)問：這是什麼圖形?(板書：三角形)

③讓所有小朋友用正方形紙折出兩個完全一樣的三角形。用小手摸一摸折出的'三角形的面，再沿著這個三角形的邊畫一畫，然後拿走摺紙剩下△，讓學生閉上眼睛想一想三角形的樣子，並用手書空畫出來。

[評析：讓學生建立圖形表象是教學的重點，教者通過折、摸、畫、想、手書空畫等系列活動，使學生對三角形有了初步的空間表象，可謂水到渠成。]

分別出示銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等腰三角形、等邊三角形，讓學生認一認，說明這些都叫三角形，讓學生記住它們的樣子。

同桌互相說一說，然後在全班交流。當學生說到紅領巾、三角尺等身邊有的物體時，讓學生摸著紅領巾、三角尺的面說：紅領巾的面是三角形的，三角尺的面是三角形的。

你們知道了身邊有許多物體的面是三角形的，你們能在釘字板上圍出一個三角形嗎?各自圍一圍，同桌相互展示(如有困難，相互幫助)。然後在全班展示出不同形狀的三角形。

你們能用6根同樣長的小棒擺出一個三角形嗎?擺好後小組相互評一評，推選出優秀代表展示。

(7)我們能用正方形紙對摺成兩個一樣的三角形，一張長方形的紙，你也能折成的兩個完全一樣的三角形嗎?拿出長方形紙折一折，比一比誰最聰明。

[評析：學生初步認識三角形後，讓學生了解生活中也有三角形的存在，激發學生學習三角形的興趣，再讓學生在釘子板上圍三角形、用小棒擺三角形、用長方形紙折三角形，既體現了具體到抽象的認知規律，又能循序漸進、層層深入地讓學生認知三角形，瞭解三角形。]

(1)請小朋友們用剪刀把折成兩個完全一樣的三角形剪下來(師生同剪)。

你能用剪下來的兩個完全一樣的三角形拼出不一樣的圖形嗎?

動手拼一拼，把拼成的不同圖形貼在黑板上(可能拼出長方形、三角形、平行四邊形)。

教師指著平行四邊形問：你們認識它嗎?它叫什麼圖形?讓所有的小朋友都來拼一個平行四邊形。

(2)出示各種平行四邊形，讓學生認一認，並沿著它們的邊畫在黑板上，讓學生認一認，記一記它們的樣子。

出示樓梯圖片，讓學生找一找圖中的平行四邊形，並用小手指一指，再讓全班小朋友開啟課本22頁，同桌互相找一找籬笆、扶手圖片中的平行四邊形，比一比看誰找得多。

在釘子板上你們能圍出平行四邊形嗎?動手圍一圍，同桌相互檢查，相互幫助，再指名上臺來圍給大家看一看。

小朋友們圍得真好，你們會用6根同樣長的小棒擺出一個平行四邊形嗎?在書上第44頁方格紙上畫一畫，選擇幾幅展示。

[評析：用學習三角形的方法學習平行四邊形，有利於學生的知識遷移，起著潛移默化的作用，讓學生主動探索新知，發展學生的思維能力。]

用兩個完全一樣的三角形能拼成幾個不同形狀的平行四邊形?動手拼一拼，展示不同形狀的平行四邊形。

先讓學生自由拼一拼，也可以小組討論，把不同拼法貼到黑板上，再讓學生認一認，記一記。

我們剛才拼出了許多形狀的圖形，下課後拼給同學看一看，回家後拼給爸爸媽媽看一看，好嗎?

[總評：本課始終以操作為主線，面向全體，全員參與，讓學生通過操作思考，小組討論，主動探索新知識，充分體現了以學生為本，教師為組織者、引導者和合作者，使學生在玩中學，學中玩。既活躍了學生的思維，又調動了他們學習的積極性和主動性。讓學生動手、動腦、動口，多種感官參與，教師又以比比誰最聰明看誰找得多等激勵性的語言，調動學生學習的興趣，使每位學生在學習過程中都有不同程度的發展。]