有理數的除法4篇 解密有理數除法

有理數的除法是數學中的基礎概念之一，其定義為將一個有理數除以另一個有理數所得的結果。在實際生活中，有理數的除法常常應用於計量單位的換算和商業運算中，是我們日常生活中必不可少的一部分。本文將就有理數的除法進行詳細介紹。

第1篇

1.使學生了解有理數除法的意義，掌握有理數除法法則，會進行有理數的除法運算。

2.使學生理解有理數倒數的意義，能熟練地進行有理數乘除混合運算。

有理數除法的學習是學生在國小已掌握了倒數的意義，除法的意義和運演算法則，乘除的混合運演算法則，知道0不能作除數的規定和在中學已學過有理數乘法的基礎上進行的。因而教材首先根據除法的意義計算一個具體的有理數除法的例項，得出有理數除法可以利用乘法來進行的結論，進而指出有理數範圍內倒數的定義不變，這樣，就得出了有理數除法法則。接下來，通過幾個例項說明有理數除法法則，並根據除法與乘法的關係，進一步得到了與乘法類似的法則。最後，通過幾個例題的教學，既說明了有理數除法的另一種形式，也指出了除法與分數互化的關係，同時，還指出有理數的除法化成有理數的乘法以後，可以利用有理數乘法的運算性質簡化運算，這樣，就說明了有理數乘除的混合運演算法則。

本節課的重點是除法法則和倒數概念；難點是對零不能作除數與零沒有倒數的理解以及乘法與除法的互化，關鍵是，實際運算時，先確定商的符號，然後再根據不同情況採取適當的方法求商的絕對值，因而教學時，要讓學生通過例項理解有理數除法與國小除法法則基本相同，只是增加了符號的變化。

1.國小學過的倒數意義是什麼？4和的倒數分別是什麼？0為什麼沒有倒數。

答：乘積是1的兩個數互為倒數，4的倒數是，的倒數是，0沒有倒數是因為沒有一個數與0相乘等於1等於。

2.國小學過的除法的意義是什麼？10÷5是什麼意思？商是幾？0÷5呢？

答：除法是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算，15÷5表示一個數與5的積是15，商是3，0÷5表示一個數與5的積是0，商是0。

與國小學過的一樣，除法是乘法的逆運算，這裡與國小不同的是，被除數和除數可以是任意有理數（零作除數除外）。

8÷(－4)，由除法的意義，就是要求一個數，使它與－4相乘，積為8，

從而對於有理數仍然有：乘積為1的兩個數互為倒數。

注意：求一個整數的倒數，直接寫成這個數的數分之一即可，求一個分數的倒數，只要把分子分母顛倒一下即可，一般地，a（a≠0）的倒數是，0沒有倒數。

由上面的引例和倒數的意義，可得到與國小一樣的有理數除法法則，則教科書第101頁方框裡的黑體字，用式子表示，就是a÷b＝a·(b≠0）。

注意：有理數除法法則也表示了有理數除法和有理數乘法可以互相轉化的關係，與國小一樣，也規定：0不能作除數。

提問：l.正數的倒數是正數，負數的倒數是負數，零的倒數是零，這句話正確嗎？

2.兩數相除，商的符號如何確定？為什麼？商的絕對值呢？

答：商的符號由兩個數的符號確定，因為除以一個數等於乘以這個數的倒數，當兩個不等於零的數互為倒數時，它們的符號相同。故兩數相除，仍是同號得正，異號得負，商的絕對值則可由兩數的絕對值相除而得到。

從上所述，可得到有理數除法與乘法類似的法則，見教科書第102頁上的黑體字。

在進行有理數除法運算時，既可以利用乘法（把除數化為它的倒數），也可以直接（特別是在能整除時）進行，具體利用哪種方式，根據情況靈活選用。

注意：除法可以表示成分數和比的形式。如84÷（－7）可以寫成或84:(－7)；反過來，分數和比也可以化為除法，如可以寫成（－12）÷3，15:6可以寫成15÷6。這說明，除法、分數和比相互可以互相轉化，並且通過這種轉化，常常可以簡化計算。

分析：（l）有兩種演算法，一是將寫成，然後用除法法則或利用乘法進行計算；二是將寫成24+，然後利用分配律進行計算。

對於（2），是乘除混合運算，可以接從左到右的順序依次計算，也可以把除法化為乘法，按乘法法則運算。

第2題可先化成乘法，並利用乘法的運算律簡化運算。

閱讀教科書第102頁至第105頁上的內容，理解倒數的意義，除法法則的兩種形式及教材上的注意點。

提問：（l）倒數的意義是什麼？有理數除法法則是什麼？如何進行有理數的除法運算？（兩種形式）如何進行有理數乘除混合運算？

（2）0能作除數嗎？什麼數的倒數是它本身？的倒數是什麼？(a≠0）

第2篇

1.使學生了解有理數除法的意義，掌握有理數除法法則，會進行有理數的除法運算。

2.使學生理解有理數倒數的意義，能熟練地進行有理數乘除混合運算。

有理數除法的學習是學生在國小已掌握了倒數的意義，除法的意義和運演算法則，乘除的混合運演算法則，知道0不能作除數的規定和在中學已學過有理數乘法的基礎上進行的。因而教材首先根據除法的意義計算一個具體的有理數除法的例項，得出有理數除法可以利用乘法來進行的結論，進而指出有理數範圍內倒數的定義不變，這樣，就得出了有理數除法法則。接下來，通過幾個例項說明有理數除法法則，並根據除法與乘法的關係，進一步得到了與乘法類似的法則。最後，通過幾個例題的教學，既說明了有理數除法的另一種形式，也指出了除法與分數互化的關係，同時，還指出有理數的除法化成有理數的乘法以後，可以利用有理數乘法的運算性質簡化運算，這樣，就說明了有理數乘除的混合運演算法則。

本節課的重點是除法法則和倒數概念；難點是對零不能作除數與零沒有倒數的理解以及乘法與除法的互化，關鍵是，實際運算時，先確定商的符號，然後再根據不同情況採取適當的方法求商的絕對值，因而教學時，要讓學生通過例項理解有理數除法與國小除法法則基本相同，只是增加了符號的變化。

1.國小學過的倒數意義是什麼？4和的倒數分別是什麼？0為什麼沒有倒數。

答：乘積是1的兩個數互為倒數，4的倒數是，的倒數是，0沒有倒數是因為沒有一個數與0相乘等於1等於。

2.國小學過的除法的意義是什麼？10÷5是什麼意思？商是幾？0÷5呢？

答：除法是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算，15÷5表示一個數與5的積是15，商是3，0÷5表示一個數與5的積是0，商是0。

與國小學過的一樣，除法是乘法的逆運算，這裡與國小不同的是，被除數和除數可以是任意有理數（零作除數除外）。

8÷(－4)，由除法的意義，就是要求一個數，使它與－4相乘，積為8，

從而對於有理數仍然有：乘積為1的兩個數互為倒數。

注意：求一個整數的倒數，直接寫成這個數的數分之一即可，求一個分數的倒數，只要把分子分母顛倒一下即可，一般地，a（a≠0）的倒數是，0沒有倒數。

由上面的引例和倒數的意義，可得到與國小一樣的有理數除法法則，則教科書第101頁方框裡的黑體字，用式子表示，就是a÷b＝a·(b≠0）。

注意：有理數除法法則也表示了有理數除法和有理數乘法可以互相轉化的關係，與國小一樣，也規定：0不能作除數。

提問：l.正數的倒數是正數，負數的倒數是負數，零的倒數是零，這句話正確嗎？

2.兩數相除，商的符號如何確定？為什麼？商的絕對值呢？

答：商的符號由兩個數的符號確定，因為除以一個數等於乘以這個數的倒數，當兩個不等於零的數互為倒數時，它們的符號相同。故兩數相除，仍是同號得正，異號得負，商的絕對值則可由兩數的絕對值相除而得到。

從上所述，可得到有理數除法與乘法類似的法則，見教科書第102頁上的黑體字。

在進行有理數除法運算時，既可以利用乘法（把除數化為它的倒數），也可以直接（特別是在能整除時）進行，具體利用哪種方式，根據情況靈活選用。

注意：除法可以表示成分數和比的形式。如84÷（－7）可以寫成或84:(－7)；反過來，分數和比也可以化為除法，如可以寫成（－12）÷3，15:6可以寫成15÷6。這說明，除法、分數和比相互可以互相轉化，並且通過這種轉化，常常可以簡化計算。

分析：（l）有兩種演算法，一是將寫成，然後用除法法則或利用乘法進行計算；二是將寫成24+，然後利用分配律進行計算。

對於（2），是乘除混合運算，可以接從左到右的順序依次計算，也可以把除法化為乘法，按乘法法則運算。

第2題可先化成乘法，並利用乘法的運算律簡化運算。

閱讀教科書第102頁至第105頁上的內容，理解倒數的意義，除法法則的兩種形式及教材上的注意點。

提問：（l）倒數的意義是什麼？有理數除法法則是什麼？如何進行有理數的除法運算？（兩種形式）如何進行有理數乘除混合運算？

（2）0能作除數嗎？什麼數的倒數是它本身？的倒數是什麼？(a≠0）

第3篇

1.理解有理數除法的意義，熟練掌握有理數除法法則，會進行運算；

3.通過將除法運算轉化為乘法運算，培養學生的轉化的思想；通過運算，培養學生的運算能力。

本節教學的重點是熟練進行運算，教學難點是理解法則。

1.有理數除法有兩種法則。法則1：除以一個數等於乘以這個數的倒數。是把除法轉化為乘法來解決問題。法則2是把有理數除法納入有理數運算的統一程式：一確定符號；二計算絕對值。如：按法則1計算：原式；按法則2計算：原式。

2.對於除法的兩個法則，在計算時可根據具體的情況選用，一般在不能整除的情況下應用第一法則。如；在有整除的情況下，應用第二個法則比較方便，如；在能整除的情況下，應用第二個法則比較方便，如，如寫成就麻煩了。

1.學生實際運算時，老師要強調先確定商的符號，然後在根據不同情況採取適當的方法求商的絕對值，求商的絕對值時，可以直接除，也可以乘以除數的倒數。

2.關於0不能做除數的問題，讓學生結合國小的知識接受這一認識就可以了，不必具體講述0為什麼不能做除數的理由。

（1）根據定義乘積為1的兩個數互為倒數，即：，則互為倒數。如：，則2與，－2與互為倒數。

（2）由倒數的定義，我們可以得到求已知數倒數的一種基本方法：即用1除以已知數，所得商就是已知數的倒數。如：求的倒數：計算，－2就是的倒數。一般我們求已知數的倒數很少用這種方法，實際應用時我們常把已知數看作分數形式，然後把分子、分母顛倒位置，所得新數就是原數的倒數。如－2可以看作，分子、分母顛倒位置後為，就是的倒數。

（3）倒數與相反數這兩個概念很容易混淆。要注意區分。首先倒數是指乘積為1的兩個數，而相反數是指和為0的兩個數。如：，2與互為倒數，2與－2互為相反數。其次互為倒數的兩個數符號相同，而互為相反數符號相反。如：－2的倒數是，－2的相反數是+2；另外0沒有倒數，而0的相反數是0。

（1）求分數的倒數，只要把這個分數的分子、分母顛倒位置即可.

1.通過有理數除法法則的匯出及運算，讓學生體會轉化思想.

通過學習有理數除法運算、感知數學知識具有普遍聯絡性、相互轉化性.

把國小算術裡的乘法法則推廣到有理數範圍內，體現了知識體系的完整美.

1.教學方法：遵循啟發式教學原則，注意創設問題情境，精心構思啟發導語並及時點撥，使學生主動發展思維和能力.

2.學生學法：通過練習探索新知→歸納除法法則→鞏固練習

2.難點：有理數除法確定商的符號後，怎樣根據不同的情況來取適當的方法求商的絕對值.

教師出示探索性練習，學生討論歸納除法法則，教師出示鞏固性練習，學生以多種形式完成.

師：以上我們學習了有理數的乘法，這節我們應該學習，板書課題.

?教法說明】同國小算術中除法一樣—除以一個數等於乘以這個數的倒數，所以必須以學好求一個有理數的倒數為基礎學習.

?教法說明】在有理數乘法的基礎上，學生很容易地做出這幾個題目，在題目的選擇上，注意了數的全面性，即有正數、0、負數，又有整數、分數，在數的變化中，讓學生回憶、體會出求各種數的倒數的方法.

學生活動：通過題目0×（ ）＝1得出0乘以任何數都不得1，0沒有倒數.

師：引入負數後，乘積是1的兩個負數也互為倒數，如－4與，與互為倒數，即的倒數是.

提出問題：根據以上題目，怎樣求整數、分數、小數的倒數？

?教法說明】教師注意創設問題情境，讓學生參與思考，循序漸進地引出，對於有理數也有倒數是.對於怎樣求整數、分數、小數的倒數，學生還很難總結出方法，提出這個問題是讓學生帶著問題來做下組練習.

學生活動：通過思考口答這6小題，討論後得出，求整數的倒數是用1除以它，求分數的倒數是分子分母顛倒位置；求小數的倒數必須先化成分數再求.

師：根據以上題目，你能說出怎樣計算嗎？能用含字母的式子表示嗎？

?教法說明】通過學生親自演算和教師的引導，對有理數除法法則及字母表示有了非常清楚的認識，教師放手讓學生總結法則，尤其是字母表示，訓練學生的歸納及口頭表達能力.

（1）（－18）÷6； （2）（－63）÷（－7）； （3）（－36）÷6；

（4）1÷（－9）； （5）0÷（－8）； （6）16÷（－3）.

學生活動：1題讓學生搶答，教師用複合膠片顯示結果.2題在練習本上演示，兩個同學板演（教師訂正）.

?教法說明】此組練習中兩個題目都是對的直接應用.1題是整數，利用口答形式訓練學生速算能力.2題是小數、分數略有難度，要求學生自行演算，加強運算的準確性，2題（2）小題必須把小數都化成分數再轉化成乘法來計算.

提出問題：（1）兩數相除，商的符號怎樣確定，商的絕對值呢？（2）0不能做除數，0做被除數時商是多少？

?教法說明】通過上組練習的結果，不難看出與有理數乘法有類似的法則，這個法則的得出為計算有理數除法又添了一種方法，這時教師要及時指出，在做有理數除法的題目時，要根據具體情況，靈活運用這兩種方法.

學生活動：（1）題採用兩數相除，異號得負並把絕對值相除的方法較簡單.

（2）題仍用除以一個數等於乘以這個數的倒數較簡單.

提出問題：－36：9＝？；：＝？它們都屬於除法運算嗎？

學生活動：例2讓學生口答，例3全體同學獨立計算，三個學生板演.

?教法說明】例2是檢查學生對有理數除法法則的靈活運用能力，並滲透了除法、分數、比可互相轉化，並且通過這種轉化，常常可能簡化計算.例3培養學生分析問題的能力，優化學生思維品質：

讓學生區分方法的差異，點明方法②非常簡便，肯定當除法轉化成乘法時，可以利用有理數乘法運算律簡化運算.（2）（3）小題也是如此.

?教法說明】對這節課全部知識點的回顧不是教師單純地總結，而是讓學生在思考回答的過程中自己把整節內容進行了梳理，並且上升到了用字母表示的數學式子，逐步培養學生用數學語言表達數學規律的能力.

（1）的倒數為__________，相反數為____________，絕對值為___________

（一）必做題：1.仿照例1、例2自編2道題，同桌交換解答.

（二）選做題：1.填空：用“＞”“＜”“＝”號填空

?教法說明】必做題為本節的重點內容，首先在這節課學習的基礎上讓同學仿照例題編題，學生也有這方面的能力，極大調動了學生積極性，提高了學生運用知識的能力.

選作題是對這節課重點內容的進一步理解和運用，為學有餘力的學生提供了展示自己的機會.

第4篇

1.理解有理數除法的意義，熟練掌握有理數除法法則，會進行運算；

3.通過將除法運算轉化為乘法運算，培養學生的轉化的思想；通過運算，培養學生的運算能力。

本節教學的重點是熟練進行運算，教學難點 是理解法則。

1.有理數除法有兩種法則。法則1：除以一個數等於乘以這個數的倒數。是把除法轉化為乘法來解決問題。法則2是把有理數除法納入有理數運算的統一程式：一確定符號；二計算絕對值。如：按法則1計算：原式；按法則2計算：原式。

2.對於除法的兩個法則，在計算時可根據具體的情況選用，一般在不能整除的情況下應用第一法則。如；在有整除的情況下，應用第二個法則比較方便，如；在能整除的情況下，應用第二個法則比較方便，如，如寫成就麻煩了。

1.學生實際運算時，老師要強調先確定商的符號，然後在根據不同情況採取適當的方法求商的絕對值，求商的絕對值時，可以直接除，也可以乘以除數的倒數。

2.關於0不能做除數的問題，讓學生結合國小的知識接受這一認識就可以了，不必具體講述0為什麼不能做除數的理由。

（1）根據定義乘積為1的兩個數互為倒數，即：，則互為倒數。如：，則2與，－2與互為倒數。

（2）由倒數的定義，我們可以得到求已知數倒數的一種基本方法：即用1除以已知數，所得商就是已知數的倒數。如：求的倒數：計算，－2就是的倒數。一般我們求已知數的倒數很少用這種方法，實際應用時我們常把已知數看作分數形式，然後把分子、分母顛倒位置，所得新數就是原數的倒數。如－2可以看作，分子、分母顛倒位置後為，就是的倒數。

（3）倒數與相反數這兩個概念很容易混淆。要注意區分。首先倒數是指乘積為1的兩個數，而相反數是指和為0的兩個數。如：，2與互為倒數，2與－2互為相反數。其次互為倒數的兩個數符號相同，而互為相反數符號相反。如：－2的倒數是，－2的相反數是+2；另外0沒有倒數，而0的相反數是0。

（1）求分數的倒數，只要把這個分數的分子、分母顛倒位置即可.

1.通過有理數除法法則的匯出及運算，讓學生體會轉化思想.

通過學習有理數除法運算、感知數學知識具有普遍聯絡性、相互轉化性.

把國小算術裡的乘法法則推廣到有理數範圍內，體現了知識體系的完整美.

1.教學方法：遵循啟發式教學原則，注意創設問題情境，精心構思啟發導語 並及時點撥，使學生主動發展思維和能力.

2.學生學法：通過練習探索新知→歸納除法法則→鞏固練習

2.難點：有理數除法確定商的符號後，怎樣根據不同的情況來取適當的方法求商的絕對值.

教師出示探索性練習，學生討論歸納除法法則，教師出示鞏固性練習，學生以多種形式完成.

師：以上我們學習了有理數的乘法，這節我們應該學習，板書課題.

?教法說明】同國小算術中除法一樣—除以一個數等於乘以這個數的倒數，所以必須以學好求一個有理數的倒數為基礎學習.

?教法說明】在有理數乘法的基礎上，學生很容易地做出這幾個題目，在題目的選擇上，注意了數的全面性，即有正數、0、負數，又有整數、分數，在數的變化中，讓學生回憶、體會出求各種數的倒數的方法.

學生活動：通過題目0×（ ）＝1得出0乘以任何數都不得1，0沒有倒數.

師：引入負數後，乘積是1的兩個負數也互為倒數，如－4與，與互為倒數，即的倒數是.

提出問題：根據以上題目，怎樣求整數、分數、小數的倒數？

?教法說明】教師注意創設問題情境，讓學生參與思考，循序漸進地引出，對於有理數也有倒數是.對於怎樣求整數、分數、小數的倒數，學生還很難總結出方法，提出這個問題是讓學生帶著問題來做下組練習.

學生活動：通過思考口答這6小題，討論後得出，求整數的倒數是用1除以它，求分數的倒數是分子分母顛倒位置；求小數的倒數必須先化成分數再求.

師：根據以上題目，你能說出怎樣計算嗎？能用含字母的式子表示嗎？

?教法說明】通過學生親自演算和教師的引導，對有理數除法法則及字母表示有了非常清楚的認識，教師放手讓學生總結法則，尤其是字母表示，訓練學生的歸納及口頭表達能力.

（1）（－18）÷6； （2）（－63）÷（－7）； （3）（－36）÷6；

（4）1÷（－9）； （5）0÷（－8）； （6）16÷（－3）.

學生活動：1題讓學生搶答，教師用複合膠片顯示結果.2題在練習本上演示，兩個同學板演（教師訂正）.

?教法說明】此組練習中兩個題目都是對的直接應用.1題是整數，利用口答形式訓練學生速算能力.2題是小數、分數略有難度，要求學生自行演算，加強運算的準確性，2題（2）小題必須把小數都化成分數再轉化成乘法來計算.

提出問題：（1）兩數相除，商的符號怎樣確定，商的絕對值呢？（2）0不能做除數，0做被除數時商是多少？

?教法說明】通過上組練習的結果，不難看出與有理數乘法有類似的法則，這個法則的得出為計算有理數除法又添了一種方法，這時教師要及時指出，在做有理數除法的題目時，要根據具體情況，靈活運用這兩種方法.

學生活動：（1）題採用兩數相除，異號得負並把絕對值相除的方法較簡單.

（2）題仍用除以一個數等於乘以這個數的倒數較簡單.

提出問題：－36：9＝？；：＝？它們都屬於除法運算嗎？

學生活動：例2讓學生口答，例3全體同學獨立計算，三個學生板演.

?教法說明】例2是檢查學生對有理數除法法則的靈活運用能力，並滲透了除法、分數、比可互相轉化，並且通過這種轉化，常常可能簡化計算.例3培養學生分析問題的能力，優化學生思維品質：

讓學生區分方法的差異，點明方法②非常簡便，肯定當除法轉化成乘法時，可以利用有理數乘法運算律簡化運算.（2）（3）小題也是如此.

?教法說明】對這節課全部知識點的回顧不是教師單純地總結，而是讓學生在思考回答的過程中自己把整節內容進行了梳理，並且上升到了用字母表示的數學式子，逐步培養學生用數學語言表達數學規律的能力.

（1）的倒數為__________，相反數為____________，絕對值為___________

（一）必做題：1.仿照例1、例2自編2道題，同桌交換解答.

（二）選做題：1.填空：用“＞”“＜”“＝”號填空

?教法說明】必做題為本節的重點內容，首先在這節課學習的基礎上讓同學仿照例題編題，學生也有這方面的能力，極大調動了學生積極性，提高了學生運用知識的能力.

選作題是對這節課重點內容的進一步理解和運用，為學有餘力的學生提供了展示自己的機會.