《3的倍數的特徵》教案7篇 "掌握數學之美：深入瞭解3的倍數的獨特特徵"

本節課教學主題為《3的倍數的特徵》，為國小生講解3的倍數的特點和規律。通過生動形象的教學方法和例項演示，讓學生掌握3的倍數的特徵，加深對數學知識的理解。教案內容詳實，易於操作，助力學生數學成長。

第1篇

使學生初步掌握能被3整除的數的特徵，能正確判斷一個數能被3整除的數的特徵，培養學生抽象、概括的能力。

我們已經知道了能被2、5整除的數的特徵，那麼能被3整除的數有什麼特徵呢？這節課我們就來研究能被3整除的數的特徵（板書課題）

教師：看到這個課題，你想提出什麼問題？（教師對學生提出的問題進行評價、規範、整理後說明：老師根據同學們提出的問題，結合本節內容歸納、整理、補充成為下面的自探提示，只要同學們能根據自探提示認真探究，就能弄明白這些問題。）

1、觀察3的倍數，你發現能被3整除的數有什麼特徵？舉例驗證。

按照學困生回答，中等生補充，優等生評價的原則進行提問，遇到中等生解決不了的問題，組織學生合探解決。根據學生回答隨機板書主要內容。

一個數各個數位上的數字之和能被3整除，這個數就能被3整除。

教師：對於本節學習的知識，你還有什麼不明白的地方，請說出來讓大家幫你解決？

2、解決學生提出的問題。（先由其他學生釋疑，學生解決不了的，可根據情況或組織學生討論或教師釋疑。）

（二）根據學生自編題的練習情況，有選擇的出示下面習題供學生練習。

教師：通過本節課的學習，你有什麼收穫？請說出來與大家共同分享。

學生充分發表意見後，教師對重點內容進行強調，並引導學生對本節內容進行歸納整理，形成系統的認識。

能被3整除的數的特徵 一個數各個數位上的數字之和能被3整除，

第2篇

2、經歷在100以內的自然數表中找3的倍數的活動，在活動的基礎上感悟3的倍數的特徵，並嘗試用自己的語言總結特徵。

3、在探索活動中，感受數學的奧妙；在運用規律中，體驗數學的價值。

1、用5，6，7三個數字組成一個三位數，使這個數是2的倍數？

說說什麼樣的數一定是2的倍數，可以擺成5的倍數嗎？怎樣擺出的數一定是5的倍數呢？

2、引入：我們已經知道看一個數是不是2或5的倍數，只要看這個數的個位，那麼你能從個位上發現3的倍數的特徵嗎？今天我們一起來研究3的倍數的特徵。（揭示課題：3的倍數的特徵）

（2）個位上是3、6、9的數不一定是3的倍數，如23、26、29都不是3的倍數。

（3）學生面對所出現的問題進行猜想，教師可根據學生的猜想進行適當的引導。

（2）學生如果提出345或354的例子，可板書並多加評論作為後面要學的`內容。

（3）在這個過程中學生可能會提出猜想的結論。即個位上是3、6、9的數是３的倍數。

（2）在這個環節中，學生有可能也會發現以下情況：

①45是3的倍數，但是，個位上的數字是5，不是3、6、9等。

（4）讓學生對猜想結論不成立的這個問題提出自己的看法。

師：對於一個結論是否成立，只舉一個正例是不夠的，如舉一個反例就可以推翻這個結論，這個結論就不能成立。請同學們在今後的學習中要注意。

師：請在下表中找出3的倍數，並做上記號。那麼多的數，我們怎麼找呢？我們要聰明地找，從比較小的數開始找。（師出示100以內數表，每小組各一張，在小組活動後，教師組織學生進行交流彙報，並呈現學生圈出3的倍數的百以內的數表，如下圖。）

（1）請同學們觀察這個表格，你發現3的倍數有什麼特徵？把你的發現在小組裡說一說。（小組交流後，再組織全班交流。）

（2）在教學過程中，教師要巡視，認真傾聽學生有什麼發現，有什麼不懂的地方。

（3）學生可能發現3的倍數個位上的數有1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，沒有什麼特別規律，十位上的數字也沒有什麼規律。

（2）在學生觀察思考的基礎上，概括學生的實際情況，提出新的思考問題：觀察每個數各個數位上的數與3有什麼關係？將每個數的各個數字加起來看一看會怎樣？

一個數各個位上的數字之和如果是3的倍數，那麼，這個數一定是3的倍數。否則，這個數就不是3的倍數。

（1）我們從10 0以內的數中發現了規律，得出了3的倍數的特徵，如果是三位數甚至更大的數，3的倍數的特徵是否也相同呢？

（3）延伸到三位數或更大的數。如：573、753、999、1236、2244、7863……

（4）學生自己寫數並驗證，然後小組交流，觀察得出的結論是否相同。

1、從3、0、4、5這4個數字中，選出兩個數字組成1個兩位數，分別滿足以下條件：

一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數

“3的倍數的特徵”屬於數論的範疇，離學生的生活較遠，有一定的難度。而2、5的倍數的特徵是學生學習這一課的基礎。所以，我用複習2、5的倍數特徵，遷移到3的倍數特徵上來，巧妙設疑，激發學生的興趣，為學習新的知識，奠定了良好的基礎。在新知探究這一塊的教學我讓學生大膽猜測，質疑，讓學生在“實驗——討論——驗證”中，產生認知的衝突。激發學生探索的興趣，然後再在“想象——探索”的過程中，培養學生從不同角度去研究問題，用不同方法去解決問題。學生通過大量的表象積累，思維產生了飛躍，自然就概括出結論。整個課堂孩子們在充分地體驗著、感悟著、發展著。這是我覺得成功的地方。

第3篇

1、理解3的倍數的特徵，掌握一個數是否是3的倍數的判斷方法。

3、培養合作交流的意識，掌握歸納的方法，獲取一定的學習經驗。

掌握3的倍數的特徵，正確判斷一個數是否是3的倍數。

1、師：課前我們已經完成了導學案自主預習部分，我們已經知道了2、5的倍數特徵，下面的數你能判斷出下面的數哪些是2的倍數，哪些是5的倍數，哪些即是2的又是5的倍數呢？

生1：個位上是02468就是2的倍數。個位是上0或者5的數就是5的倍數。一個數既是2的倍數，又是5的倍數，它的個位上一定是0.

2、看來要想判斷一個數是否是2或者5的倍數，只需要看這個數個位上的數。可是，為什麼只需要觀察個位上的數呢？為什麼其他位上的數就不用觀察呢？

生：2的倍數的個位數是0、2、4、6、8；5的倍數個位上是0、5。

師：那麼3的倍數有什麼特徵呢？是不是還看個位數呢？這就是這節課我們要研究的內容。

設計意圖交流預習內容，解決預習中的問題；明確學習目標，帶著目標進行合作學習。

師：首先我們來做一個擺小棒的遊戲，怎麼玩呢？（拿6根小棒）找一個同學在這張數位表上隨意用小棒擺出一個數，我能馬上猜出它是不是3的倍數。信不信？

師：為了驗證我猜得對不對，再請一個同學到前面的展臺上用計算器來算一算，跟我比比速度。

師：想知道老師為什麼判斷的這麼快嗎？相信通過下面的操作你能發現其中的祕訣。

師：我們一探究要求：用相應根數的小棒在數位表上各擺出3個數。

①根據要求每人用3根小棒擺一個數，並思考是不是3的倍數，3人擺數，1人記錄。

（4）擺出3的倍數與所需的小棒的根數有什麼聯絡？3的倍數有什麼特徵？

第一組：用3根小棒擺：2、12、102，都分別是3的倍數。

第二組：用4根小棒擺：22、1111、1102，都不是3的倍數。

生：我們發現了3根、6根小棒擺出來的數都是3的倍數。

生：只要小棒的根數是3的倍數，這個數就是3的倍數。

師：你們認為除了3根、6根，還有其它情況是嗎？具體解釋一下。

師：來，說說你們小組擺出了哪個數，它是不是3的倍數？

師：大家用九根小棒擺出來的數都是3的倍數嗎？那你認為他們小組的結論合理嗎？

師：大家說著，我把它記錄下來（板書）：只要小棒的根數是3的倍數，擺出來的數就是3的倍數。

師：由擺數所用小棒的根數我們就能快速判斷出一個數是不是3的倍數。

師：通過擺小棒，我們能判斷出一個數是不是3的倍數，現在不擺了，也不撥了，通過上面的兩次操作，能不能說說什麼樣的數是3的倍數？

生1：各個數位上的數加起來是3的倍數，這個數就是3的倍數。

生2：各個數位上數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

生3：只要各個數位上數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

師：無論是小棒的根數還是各個數位上珠子的顆數，實際上也就是各個數位上數的和。只要各個數位上數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

（1）要想判斷一個數是否是2或者5的倍數，只需要看這個數個位上的數。可是，為什麼只需要觀察個位上的數呢？為什麼其他位上的數就不用觀察呢？

師：上節課我們講過，16是2的倍數，它是由一個十和六個一組成的，那麼想想把一個十，兩個兩個的分，會出現什麼結果？（也就是說如果把16兩個兩個地分，正好可以分完，沒有餘數）

但既然十位上沒有剩餘，那十位上的數還需要觀察嗎？（我們只需要觀察個位上的6根小棒就可以，把它兩個兩個地分能正好分完）

用剛才的方法判斷5的倍數為什麼也只觀察個位？（因為一個百被5分完沒有餘數）

看來判斷2、5不受百位和十位的影響，只需要觀察個位上的數就可以。

通過剛才地研究，我們更加熟練了判斷2、5倍數的方法，還知道了為什麼只需要觀察個位上的數就可以了。

（2）問：為什麼3的倍數特徵要看各個數位相加的和呢？

舉例24是不是3的倍數，但是個位4是嗎？這是為什麼？自己分一分，畫一畫，看看24為什麼是3的倍數？

一個十3個3個分餘1根，第二個餘1根，兩個各餘1根，在和個位繼續分，

一個百3個3個分最後剩1根，三個十3個3個分，每個餘1根，所以剩三個一，個位傻上還剩一個8，合起來繼續分，12個繼續分。

（2）：梳理一下：24、138，分一遍，你發現什麼？（剩餘就是3的倍數。數位是幾，餘數就是幾）無論百位上是幾，3個3個分完，就剩幾。

p：剩餘的小棒正好是每個數位加起來的數。（因為這些數位和剩下的數相同，所以可以直接把數位上的數相加，如果和是3的倍數，那麼這個數就是3的倍數，如果不是，就不是3的倍數。）

1、口頭練習：是不是3的倍數都有這個規律呢？隨便寫一個數：先用除法算算是不是3的倍數，再算一算各個數位上的和是不是3的倍數？

3、□2，這是一個兩位數，十位被遮蓋住了，如果它是3的倍數，猜一猜，這個數可能是幾？為什麼？

生2：1+2=3，4+2=6，7+2=9，3，6，9都是3的倍數，所以填1、4、7都可以。

以前我們用除法來檢驗這個數是不是3的倍數，今天我們又學了3的`倍數特徵，我們只需要求各個數位上的和是3的倍數就可以，但是如果遇到這樣的題怎麼辦？（ppt）

但是我們用劃掉3的倍數的方法求，這樣即便是很複雜的數也能特別輕易的解決。比如：13689362754，從左開始，1不夠，看13，是3的4倍，餘1，和6組成16餘1,18算完……

後面的練習我們下課完成，好，這節課不僅發現3的特徵，還根據特點發現簡便地判斷方法，更可貴的發現了背後的道理。學習數學就是這樣，不僅要知其然還要知其所以然。希望同學們能在快樂的數學海洋裡繼續愉快地暢遊。這節課我們就上到這裡，下課。

設計意圖這一環節由學生自學和同伴合作，完成因數倍數的知識的學習。

在學生討論比較充分的基礎上，教師進行點撥來完善學生對比的認識。

先由學生自主完成學案中相應的內容，再同桌交流，完善答案。

1、是不是3的倍數都有這個規律呢？隨便寫一個數：先用除法算算是不是是不是3的倍數，再算一算各個數位上的和是不是3的倍數？

4、下面的數是3的倍數嗎？888、555，那這樣的三位數都是三的倍數嗎？p：777、888，可以想成3個8相乘，像這樣的三位數一定是3的倍數

654，把大的給小的，把6給4，三個都是5了，把較大數給叫小叔一個，數字和不變，所以一定是3的倍數。

6、是嗎？363、669、993。是。有簡便的方法嗎？每個數學都是3的倍數，這個數字和一定是3的倍數。

第4篇

?3的倍數的特徵》是人教版國小數學五年級下冊第19頁的內容，它是在因數和倍數的基礎上進行教學的，是求最大公因數、最小公倍數的重要基礎，也是學習約分和通分的必要前提。因此，使學生熟練地掌握2、5、3的倍數的特徵，具有十分重要的意義。

先教學2、5的倍數的特徵，再教學3的倍數的特徵。因為2、5的倍數的特徵僅僅體現在個位上的數，比較明顯，容易理解。而3的倍數的特徵，不能只從個位上的數來判定，必須把其各位上的數相加，看所得的和是否是3的倍數來判定，學生理解起來有一定的困難。

二、教學目標（知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀）

1、通過觀察、猜測、驗證等活動，讓學生經歷探索3的倍數的特徵的過程理解3的倍數特徵，能判斷一個數是不是3的倍數。

2、 使學生在學習過程中積累數學活動的經驗，培養學生觀察、分析、動手操作及概括問題的能力，發展學生的抽象思維和培養相互間的交流、合作與競爭意識，提高學生的合情推理能力。

3、通過學習，讓學生體驗數學問題的探究性和挑戰性，進一步激發學生學習數學的興趣，並從中獲得積極的情感體驗。

教學重點：使學生理解和掌握3的倍數的特徵，並能熟練地去判斷一個數是否是3的倍數。

學生在學習本課之前，已經學習了2和5的倍數的特徵，養成善於動腦思考、討論、交流與研究，積極進行小組合作的習慣。可以說，學生有了一定的自學與研究的能力。

學生容易從末尾數字進行判斷這個數是否是3的倍數。所以，在教學本課時，讓學生通過觀察、思考、分析、歸納等活動，讓他們真正理解、掌握、判斷3的倍數的方法。

根據對教材的理解，從學生的自主學習出發，我從三個方面考慮教法和學法：

2、尊重學生，相信學生，讓學生通過、觀察、猜測、驗證，動手操作、自主探究、合作交流，使學生成為學習的主人，使課堂變為學堂。

學習指學習方法，3的倍數的特徵，有規律可循，容易上成機械刻板，枯燥無味的課，學生能死套規律判斷，但學生的能力沒能培養，智力得不到開發。本課的設計旨在揚棄“滿堂灌”的教學，取而代之以啟發與發現相結合的教學方法，點撥學生大膽猜想，動手實踐，去發現規律，使全體學生積極參與，積極思考，激發學生學習的.積極性。

1、提問：你能用5，6，7三個數字組成一個三位數，使這個數是2的倍數？說說什麼樣的數一定是2的倍數？可以擺成5的倍數嗎？說說怎樣擺？什麼樣的數是5的倍數？

2、 談話：我們已經知道看一個數是不是2或5的倍數，只要看這個數的個位，你能猜猜什麼樣的數是3的倍數？

3、提問：同意他的猜想嗎？他猜的到底對不對呢？我們一起來研究一下。

（1）提問：請同學們觀察一下，3的倍數個位上是哪些數字？剛才那位同學的猜想正確嗎？要判斷一個數是不是3的倍數，能不能只看個位？

（2）究竟什麼樣的數才是3的倍數呢？這節課我們就來研究3的倍數的特徵。（板書課題：3的倍數的特徵）

2、提問： 觀察百數表中圈出的3的倍數，你們發現什麼？

（1）引導學生先橫著看，豎著看，仍然找不到3的倍數特徵。

①第一斜行3的倍數交換兩個數字的位置後，得到的還是3的倍數。

（3）第二斜行是否也有這一特徵呢？第三斜行呢？第四斜行呢？

（4）將百數圖中的數的順序打亂，剛才大家發現的還正確嗎？

（1）在計數器上分別撥出幾個3的倍數：12、42、45、75、87看看各用了幾顆算珠？

（2）觀察這些3的倍數，它們十位與個位上數的和跟3有著怎樣的關係？

2、在每個數的口裡填上一個數字，使這個數是3的倍數。

提問： 為什麼填這個數？你是怎麼想的？還可以填哪些數？

3、從下面選出三張數字卡片，組成一個是3的倍數的三位數。你一共可以組成多少個這樣的三位數？

4、猜猜老師的年齡：老師的年齡既是2的倍數，又是5的倍數，又是3的倍數，老師今年（ ）歲。

快速判斷下列數是不是3的倍數？再用計算器驗證前三個。

當一個數的數位上出現3、6、9時，可以先去掉3、6、9，剩下的數的兩個數和是3的倍數，再去掉，最後去掉三個數的和是3的倍數。餘下的數是3的倍數。那麼這個數就是3的倍數，不是則相反。

第5篇

理解並熟記3的倍數的特徵，能正確判斷一個數是不是3的倍數，培養理解力和應用知識的能力。

經歷自主實踐、合作交流探究3的倍數的特徵的過程，培養的探究能力和合作意識。

感受數學知識探究的條理性，培養嚴謹的學習態度，體驗合作的樂趣。

2、下面各數哪些是2的倍數，哪些是5的倍數，哪些既是2的倍數又是5的倍數？

3、你能說出幾個3的倍數嗎？上面這些數中，哪些是3的倍數。你能迅速判斷出來嗎？

4、比一比。請學生任意報數，學生用計算器算，老師用口算，判斷它是不是3的倍數。看誰的數度快！

5、設疑匯入：你們想知道其中的奧祕嗎？這節課就來學習3的倍數的特徵。我相信：通過這節課的探索大家也一定能準確迅速地判斷出一個數是不是3的倍數。（揭示課題）

（1）交流猜想。（有的說個位上是3、6、9的數是3的倍數，有的同學舉出反例加以否定）

（2）整理認識。只觀察個位上的數不能確定它是不是3的倍數，那麼3的倍數到底有什麼特徵呢？

（1）圈一圈。上表中哪些是3的倍數，把它們圈起來。

（2）議一議。觀察3的倍數，你有什麼發現？把你的發現與同桌交流一下。（學生交流）

（3）全班交流。橫著看圈起的前10個數，個位上的數字有什麼規律？十位上的數字呢？判斷一個數是不是3的倍數，只看個位行嗎？

大家再仔細看一看，3的倍數在表中排列有什麼規律？

從上往下看，每條斜線上的數有什麼規律？(個位數字依次減1，十位數字依次加1)

個位數字減1，十位數字加1組成的數與原來的數有什麼相同的地方？（和相等）

每條斜線的數，各位上數字之和分別是多少，它們有什麼共同特徵？（各位上數字之和都是3的倍數。）

3、歸納概括：現在你能自己的話概括3的倍數有什麼特徵嗎？

3的倍數的`特徵：一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

大家真了不起！自主探索發現了3的倍數的特徵。但如果是三位數或更大的數，你們的發現還成立嗎？請大家寫幾個更大的數試試看。

（1）嘗試驗證。（生寫數，然後判斷、交流、得出結論。）

教師說一個數。如342，學生先用特徵判斷，再用計算器檢驗。

一個更大的數。4870599，學生先用特徵判斷，再用計算器檢驗。

5、鞏固提高。下面用數字卡片擺出的數中哪些是3的倍數？在每個數後增加一張卡片，使新的三位數成為3的倍數。

我們已經理解了3的倍數的特徵，下面請運用特徵來檢驗我們的實踐能力吧！

2、在下面各數的□裡填上一個數字，使這個數是3的倍數，各有幾種填法？

3、用數字1、3、5、能組成幾個三位數？哪些三位數是3的倍數？你有什麼發現？

5、從下面四張數字卡片中取出三張，按要求組成三位數。

6、現在有學生22人，每3個人分成一組，至少再來幾個人才能正好分完？

7、（1）既是2和5的倍數，又是3的倍數的最小兩位數是（）。

（2）既是2的倍數，又是3的倍數的最小三位數是（），最大三位數是（）。

知道了3的倍數的特徵，一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

我們運用了數學上很重要的研究方法“猜想、探索、歸納、驗證”研究3的倍數的特徵。

課下大家運用“猜想、探索、歸納、驗證”的方法，繼續研究9的倍數有什麼特徵？

第6篇

理解和掌握3的倍數的特徵，能熟練判斷一個數是否是3的倍數。

經歷觀察、猜想、推翻猜想、再觀察、再猜想、驗證的過程，提升邏輯推理能力。

引出繼續利用百數表研究3的倍數的特徵並出示課題。

組織學生在百數表中圈出3的倍數，提出問題：能否猜想3的倍數的特徵會與什麼有關？

學生髮現從個位探究並不成功，教師順勢引導——單純橫著看找不到什麼規律，還能怎麼看；或是提示我們只看個位不行還能怎麼看。引導學生髮現“斜著看時，十位依次增大1，個位依次減小1，總和不變”。

組織學生小組討論，重點討論3的倍數對於個位是否還有特殊要求以及十位與個位的和有沒有什麼規律，之後教師再組織學生反饋多次舉例驗證，便可以得出個位可以是任意數且十位和個位的和均為3的倍數。

提問學生應該如何找到3的倍數，引導學生髮現總結規律的必要性。

師生共同總結得出：一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

2。嘗試在每個數後面加一個數使這個三位數成為3的倍數。

帶領學生回顧：3的倍數的特徵；發現研究倍數的特徵，方法卻各有不一，體會數學知識的多樣性。

思考什麼樣的數字同時是2、3、5的倍數，並嘗試列舉1000以內的這種數字。

第7篇

1、經歷在100以內的自然數表中找3的倍數的活動，在活動的基礎上感悟3的倍數的特徵，並嘗試用自身的語言總結特徵。

2、在探索活動中，感受數學的微妙；在運用規律中，體驗數學的價值。

師：同學們，我們已經知道了2、5的倍數的特徵，那麼3的倍數會有什麼特徵呢?誰能猜想一下？

生2：不對，個位上是3、6、9的數不定是3的倍數，如l 3、l 6、19都不是3的倍數。

生3：另外，像60、12、24、27、18等數個位上不是3、6、9，但這些數都是3的倍數。

師：看來只觀察個位不能確定是不是3的倍數，那麼3的倍數到底有什麼特徵呢?今天我們一起來研究。（揭示課題）

師：先請在下表中找出3的倍數，並做上記號。（教師出示百以內數表，同學人手一張。在同學的`活動後，教師組織同學進行交流，並出現同學已圈出3的倍數的百以內的數表。）（如下圖）

先請在下表中找出3的倍數，並做上記號。(教師出示百以內數表，同學利用p18的表。在同學的活動後，教師組織同學進行交流，並出現同學已圈出3的倍數的百以內的數表。)(如下圖)

師：請觀察這個表格，你發現3的倍數什麼特徵呢?把你的發現與同桌交流一下。

生2：我發現不論橫的看或豎的看，3的倍數都是隔兩個數出現一次。

生3：我全部看了一下，剛才前面這位同學的猜測是不對的，3的倍數個位上0～9這十個數字都有可能。

師：個位上的數字沒有什麼規律，那麼十位上的數有規律嗎?

師：你觀察的角度與其他同學不同，那麼每條斜線上的數有規律嗎?

生：從上往下觀察，連續兩數都是十位數增加1，而個位數減少1。

師：十位數加1、個位數減1組成的數與原來的數有什麼相同的地方?

生：我發現“3”的那條斜線，另外兩個數12和21的十位和個位上的數字加起來都等於3。

生1：我發現“6”的那條斜線上的數，兩個數字加起來的和都等於6。

生2：“9”的那條斜線上的數，兩個數字加起來的和都等於9。

生3：我發現另外幾列，除了邊上的30、60、90兩個數字的和是3、6、9，另外的數兩個數字的和是12、15、18。

生：一個數各個數位上數字之和等於3、6、9、12、15、18等，這個數就一定是3的倍數。

師：實際上3、6、9、12、15、18等數都是3的倍數，所以這句還可以怎麼說呢?

生：一個數各個數位上數字之和是3的倍數，這個數就一定是3的倍數。

師：剛才是從100以內數中發現了規律，得出了3的倍數的特徵，假如是三位數甚至更大的數，3的倍數的特徵是否也相同呢?請大家再找幾個數來驗證一下。

同學先自身寫數並驗證，然後小組交流，得出了同樣的結論。